样本方差计算公式(合并样本方差计算公式)

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为什么样本方差(sample variance)的分母是 n-1?

上面有答案解释得很明确,即样本方差计算公式里分母为的目的是为了让方差的估计是无偏的。无偏的估计(unbiased estimator)比有偏估计(biased estimator)更好是符合直觉的,尽管有的统计学家认为让mean square error即MSE最小才更有意义,这个问题我们不在这里探讨;不符合直觉的是,为什么分母必须得是而不是才能使得该估计无偏。我相信这是题主真正困惑的地方。

要回答这个问题,偷懒的办法是让困惑的题主去看下面这个等式的数学证明:

为什么样本方差的分母是 n-1?

但是这个答案显然不够直观(教材里面统计学家像变魔法似的不知怎么就得到了上面这个等式)。

下面我将提供一个略微更友善一点的解释。

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===================== 答案的分割线 ===================================

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首先,我们假定随机变量为什么样本方差的分母是 n-1?的数学期望是已知的,然而方差为什么样本方差的分母是 n-1?未知。在这个条件下,根据方差的定义我们有

为什么样本方差的分母是 n-1?

由此可得

为什么样本方差的分母是 n-1?

因此 为什么样本方差的分母是 n-1?是方差的一个无偏估计,注意式中的分母不偏不倚正好是!

这个结果符合直觉,并且在数学上也是显而易见的。

现在,我们考虑随机变量的数学期望是未知的情形。这时,我们会倾向于无脑直接用样本均值为什么样本方差的分母是 n-1?替换掉上面式子中的。这样做有什么后果呢?后果就是,

如果直接使用为什么样本方差的分母是 n-1?作为估计,那么你会倾向于低估方差!

这是因为:

为什么样本方差的分母是 n-1?

换言之,除非正好为什么样本方差的分母是 n-1?,否则我们一定有

为什么样本方差的分母是 n-1?

而不等式右边的那位才是的对方差的“正确”估计!

这个不等式说明了,为什么直接使用会导致对方差的低估。

那么,在不知道随机变量真实数学期望的前提下,如何“正确”的估计方差呢?答案是把上式中的分母换成,通过这种方法把原来的偏小的估计“放大”一点点,我们就能获得对方差的正确估计了:

为什么样本方差的分母是 n-1?

至于为什么分母是 而不是 为什么样本方差的分母是 n-1?或者别的什么数,最好还是去看真正的数学证明,因为数学证明的根本目的就是告诉人们“为什么”;暂时我没有办法给出更“初等”的解释了。

via:魏天闻(知乎)

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