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谁解答了班上的作业题 | 辛酉丑故事数学专栏

作者 | 重庆 辛酉丑

怪事年年有,今年特别多,黑娃教的高二·五班就遇到一件怪事。

有一天晚自习,黑娃在黑板上写了一道求定值的圆锥曲线问题,他叫学生先练习,打算第二天上午第一节来评讲,题目是这样的:

椭圆 的左、右顶点为 、,过左焦点的直线与椭圆交于 , 两点,求证: 为定值.

第二天早上,黑娃走进教室一看,黑板上已经写着这个题的详细解答:

解:先由特殊情况确定定值.

当 轴时,,,,,

易知

下面证明 满足一般情况.

令 ,,直线 的方程为:.

可得 .

上式显然成立,所以

黑娃仔细审查解答过程,心里暗暗叫好。不仅答案完全正确,而且解答结束时还对解题方法进行了归纳和提炼,附上几句解题口诀:

存在定值与定点,常规方法直接算;

特殊情况找结论,一般情况再验证;

可以化为恒成立,考问恒定啥条件。

“这是谁解答的?”黑娃有些惊喜、有些疑惑。

上课铃响了,黑娃问是谁写的答案,教室里无人应答,黑娃心想,可能担心答案有错不敢承认,于是说:“这种解法很好,答案完全正确,特别是最后几句解题口诀写得漂亮,有画龙点睛的作用,我们掌声欢迎这位同学上台给大家讲解思路。”同学们左顾右盼,依然没有人承认。黑娃见没人上台,猜想是一名腼腆的女生写的,胆子小不敢上台。于是就对黑板上的解答进行分析和讲解。

又是一次物理晚自习,老师在小黑板上写了一道习题,叫全班同学先练习,老师第二天上午来评讲,题目是这样的:

如图所示,水平放置的两平行金属导轨相距 ,电源电动势 =6V,内阻不计,串联电阻 R=5,匀强磁场方向竖直向下。开关 S 闭合后,横放在导轨上的金属棒 在磁场力的作用下由静止开始向右运动,金属棒与导轨间的滑动摩擦力 . 为使金属棒的运动速度 最大,磁感强度 为多少?此时 的最大值为多少?

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第二天早上,物理老师走进教室一看,黑板上已经写着这个题的详细解答:

解:随着 的增大,感应电动势也增大,合电动势减小, 棒中的电流也减小,磁场力随之减小,当磁场力减小到与阻力相等时, 棒速度最大,此后将作匀速直线运动。

设匀强磁场的磁感强度为 , 棒上产生的感应电动势为:

电流为 .

棒受磁场力

当磁场力的大小等于阻力 时,棒受合力为零,作匀速直线运动,则

(把 看作变量,此式使我们联想到用判别式求值域的数学方法)

由 ,得

所以,金属棒 最大速度

从而可得

老师审查了解答过程,觉得解题方法很好,特别是利用判别式求最大值这一招最精彩,将数学和物理的完美结合。他没有擦黑板,打算让学生上台讲解,想用学生的解答来激励学生,营造竞争场。等到上课时,老师问是谁写的答案,没有人应答,连续问了三次都无人应答,物理老师心想:高中生稳重、内敛,不像初中生那样爱表现,还是自己讲解吧。

办公室里,黑娃和物理老师谈及此事,大家觉得很奇怪,过去从未遇到这种情况,有老师怀疑班上隐藏着奇才。班主任建议,让黑娃再写一个很难的数学竞赛题试试,看看班上究竟有没有卧龙。

又到数学晚自习,黑娃在黑板上写了一个难度很大的 IMO 数学竞赛题,然后说:“大家先练习,明天上午我来评讲。”题目是这样的:

令 、 是一个正八边形的两个相对顶点,一只青蛙从 定开始跳动,除了 点外,从八边形中的其他每一个顶点都可以跳至与它相邻两顶点中的任何一个。当它跳到 点时就停止运动。设 为恰好经过 步跳动以后到达 点的所有可能线路的个数,求证:

(1) ;

(2)

第二天,黑娃、物理老师和班主任一大早来到学校,想看看有无奇迹发生,他们走进教室一看,被眼前的情景惊呆了,教室里没有一个学生,黑板上却写着详细解答:

解:设经过 步跳动以后到达各顶点的所有可能线路的个数为

.

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由 ,消去 可得:

易知:

(1)当 时,验证可知:命题成立;

(2)假设当

由 知:,显然命题成立;

由 知:

则 时,命题成立.

综上,对一切自然数 ,原命题成立

黑娃仔细检查了答案,低声说:“答案是正确的。”大家面面相觑,班主任说:“我们学校是一个普通中学,从未开展竞赛培训,学生不可能解答 IMO 竞赛题。这个事很蹊跷,大家保密,传出去可能引起学生恐慌骚动,如果出了乱子很麻烦。”黑娃说:“我把黑板擦了,上课给学生说,由于老师疏忽把题写错了,这个题就不评讲了。”

班主任越想越觉得奇怪,怀疑有鬼怪作祟,决定把事情经过告诉王主任,王主任是学校教导主任,也是资深的数学特级教师,听了班主任的汇报,王主任说:“这事有些蹊跷,但是我们要相信科学,我用三十多年的教学经历担保,世界上绝对没有鬼怪。”

王主任安慰了班主任,想到过去,由于自己管理疏忽出了教学事故,给学校抹黑,内心深感自责。觉得有必要把事情弄个水落石出,一定要把这个“捣蛋”学生找出来。晚自习后,王主任来到高二·五班教室,教室空无一人,他把黑板擦得干干净净,写上一个数学题,题目是这样的:

已知 ,. 求证:

王主任关闭电灯,在隔壁教室悄悄坐下,静观其变,从晚上九点等到十一点,教学楼寂静无声,没有发现学生进教室。王主任本想回家睡觉,想到认真负责的班主任不可能无中生有、故弄玄虚,他强打精神继续坚持。又过了一小时,大约是午夜时分,隔壁教室隐约传来粉笔写字的声音,王主任悄悄来到走廊上,从教室后门的瞭望孔向里张望,教室没有开灯,微弱的月光透过茂密的乔木照在教室里,依稀看见一个人在讲台上写字。王主任觉得奇怪,为什么不开灯呢?王主任敲门进去,说道:“同学!把灯开启,黑灯瞎火很容易写错。”随手打开电灯。黑影发现有人进来,立即转过身来看着王主任,脸色煞白,满脸忧戚不说话。

“你是高二·五班的学生吗?看你脸色很差,就知道你身体不好,不要熬夜,快回寝室休息吧。”王主任关切地问。

黑影一头扑在王主任怀里,略带哭声地说:“王校长,我对不起你!”

王主任说:“我早就不是校长了,你是谁?”

黑影说:“我是旺仔,我是你二十年前的学生,那时你教我的数学,就在这个班里,我坐的第三组第二个座位。”

王主任背心发麻,心头一紧打了个寒颤,随即恢复平静,说:“哦!你的事情我知道,当时你理科成绩不错,想不通你为什么会走那条路?”

旺仔哭诉到:“当时家里很穷,父母去世早,兄弟姊妹多,每个人只有很少一点遗产,哥哥姐姐都已成家,就我一个人坚持读高中,第一年高考差几分上线,全家人都鼓励我复读一年,第二年高考又差几分上线,我有点不服输,想到父母叫我‘旺仔’,就是希望我脱贫致富、兴旺发达,我决心再复读一年,可是第三年高考还是差几分。父母给我的遗产被我折腾干净,连一个躲雨的地方都没有,开始我借住哥哥家,时间久了,嫂嫂说长道短,我走投无路,看不到一点希望,我恨自己无能,对不起父母,对不起老师,……”说着说着,旺仔哽咽无声。

王主任说:“你这孩子,有困难为什么不给老师说?无论如何也不能走绝路呀。”

旺仔说:“我知道老师工资很低,我自己考得不好,不好意思再见老师。不过,这么多年我一直坚持学习数学,刚才见你走进教室,我没有躲避,是因为我现在有了自信,我的数学水平提高了,数学竞赛题也会解了,没有辜负老师的教导。”旺仔突然抬头问王主任:“王校长,二十年前你就是校长,刚才你怎么说早就不是校长了?这是什么意思?”

王主任说:“都怪我当年教育观念落后,满脑子升学率,没有重视学生心理疏导和安全教育,因为你高考失败投河自尽,教育行政部门对我的工作疏忽进行通报批评,降职处理,其实当不当校长并不重要,只是每当想起你的事,我就深感愧疚。”

王主任掏出手巾试了试眼角,说:“旺仔,你今后不要到教室来了,同学们学习紧张,你来可能影响他们的学习。”

旺仔说:“我都是午夜才到教室来看看,没有打扰学生,也没有翻同学的书本,我把作业题的答案写在黑板上,给同学们提供一种参考,辅导他们学习。王校长,我真的很喜欢解题,班上的数学题、物理题出得很好,很锻炼思维。”

王主任说:“你喜欢做题是好事,《五年高考三年模拟》知名度很高,杨飞老师的《数学解题泄天机》写得很好,我收集几本书烧给你。”

“谢谢王校长!天快亮了,我该走了。”说完,一溜轻烟飘向窗外。

第二天早上,有人看见王主任提着一大口袋教学辅导书,径直向小桥旁边的坟山走去。从此高二·五班清净了,再也没有出现“捣乱”的事。

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作者简介:辛酉丑,重庆潼南人,1991年7月毕业于西南师范大学数学系,重庆南开中学正高级教师,重庆“322”重点人才(二层次),重庆学术技术带头人后备。主持省级课题2项,主研省级课题2项,参与国家级课题2项;参与编写了大学教材《小学数学教育概论》和重庆地方教材《研究性学习》;出版专著《数学与生活》,《数学解题泄天机》,在《数学教育学报》《数学通报》等杂志发表论文70多篇,其中核心期刊20多篇;数学教育论文曾获全国紫京杯数学教育创新论文一等奖,初等数学论文获全国第二届青年初等数学研究奖;指导学生在《数学通报》等杂志发表文章16篇,指导8名学生进入全国高中数学奥林匹克冬令营,中国数学会三次授予优秀教练员。近几年在西南大学、重庆师范大学、重庆教育科学研究院、重庆第二师范学院、重庆三峡学院以及重庆部分区县教师进修学院和一些中学主讲40多场。重庆晚报、重庆晨报等媒体曾专题报道。

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